Historia del teorema de Pitágoras Alumnado Actividad 1

El teorema de Pitágoras en la historia

Se cuenta que Aristipo de Cirene (435-350 a C.), filósofo griego discípulo de Sócrates, arrojado por un naufragio a la playa de Rodas (isla griega situada cerca de la actual Turquía), al ver en la arena unas figuras geométricas, gritó a sus compañeros: "Enhorabuena, porque veo huellas de hombres".

Y así es, en efecto, donde hay hombres hay geometría y viceversa.

Y en geometría ha sido siempre importante, desde la más lejana antigüedad lo que hoy conocemos como teorema de Pitágoras. Porque, ¡no te equivoques!: el teorema de Pitágoras ¡no es de Pitágoras!, antes de Pitágoras los babilonios, los egipcios, los indios, los chinos y, probablemente, algunos pueblos americanos los conocían. O al menos conocían que determinados segmentos y determinados grupos de tres números cumplían la propiedad que nosotros llamamos teorema de Pitágoras.

Y esos segmentos y esos trios de números han sido importantes también después de Pitágoras y durante toda la historia posterior de las Matemáticas y hasta hoy.

Veamos algo de eso:

a
Arispo de Cirene
Fuente:
 http://hedomistas-556.blogspot.com
Apartado 1
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El teorema de Pitágoras y los números que forman triángulos rectángulos.

Empecemos por enunciar el teorema, aunque seguro que te lo sabes:

“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Observa que el teorema también vale al revés: si tenemos tres números que cumplen esa propiedad, el triángulo que dibujemos con ellos será rectángulo, siempre que cojamos el mayor como hipotenusa.

Veamos para empezar el ejemplo más sencillo de triángulo (y de tres números) de Pitágoras:

a

Puedes comprobar que se cumple que:

(los dos miembros de la igualdad valen 25)

A los grupos de tres números que cumplen el teorema de Pitágoras se les llama tripletes pitagóricos (también ternas pitagóricas). Evidentemente 3, 4 y 5 son una terna pitagórica.

Ya sabemos que podemos dibujar con ellos triángulos rectángulos, pero los pitagóricos, para los que los números eran la esencia de todas las cosas, llegaron más lejos: estudiaron profundamente esos números y sacaron de ellos muchas conclusiones, algunas de las cuales veremos aquí.

    • En primer lugar te darás cuenta de que hay muchos tripletes, otro muy importante en la historia ha sido el formado por los números 5, 12 y 13.
      Comprueba que efectivamente estos números cumplen nuestro teorema.
    • Vamos a investigar ahora, tal como lo hicieron los pitagóricos, Haz clic en el dibujo y responde “verdadero” o “falso” a la derecha de cada uno de los grupos de tres números que encontrarás, según sean o no tripletes pitagóricos.

  • Pero resulta que hay una manera muy fácil de obtener cualquier terna pitagórica que deseemos sin necesidad de andar haciendo pruebas, y, curiosamente ya los babilonios la conocían. Se hace así:
    • Se eligen dos números cualesquiera, ejemplo: el 2 y el 3
    • Se elevan ambos al cuadrado, en nuestro ejemplo: 4, 9
    • Se suman los cuadrados: 9 + 4 = 13, ya tenemos la hipotenusa.
    • Se restan los cuadrados: 9 – 4 = 5, ya tenemos un cateto.
    • Se multiplican los dos números originales y el resultado se multiplica por 2:        2 x 3 = 6,  2 x 6 = 12, el otro cateto.
    • hemos obtenido el triplete: 5, 12 y 13 que ya conocíamos, pero con otros dos números cualesquiera obtendríamos los que quisiéramos.
    • Prueba utilizando los números 1 y 2 y verás como obtienes otra terna conocida.
    • Haz clic en el dibujo para abrir un fichero de una hoja de cálculo. En él podrás encontrar fácilmente cualquier tripleta que desees. Podrás también obtener ternas automáticamente.
      Si sientes curiosidad o tienes dudas, puedes pedir a tu profesor que te explique cómo funciona la hoja de cálculo.

a

Te has dado cuenta de que sólo hemos utilizado números naturales, los pitagóricos no conocían ni los negativos ni los decimales.


 
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