Historia del teorema de Pitágoras Alumnado Actividad 2

El teorema después de Pitágoras. Demostraciones

Ya hemos visto que Pitágoras (y su escuela pitagórica) no fueron los primeros en conocer ni usar el teorema, pero si los primeros en sistematizarlo y demostrarlo.  Lo mismo podemos decir de una gran cantidad de propiedades de los números y de las figuras geométricas.

Es  muy importante que entiendas que eso (el no ser los primeros) no les quita ningún mérito sino más bien al contrario. Podemos decir que con Pitágoras comienza de verdad la ciencia, los matemáticos anteriores a él conocían muchas cosas y las usaban para sus trabajos, pero con Pitágoras llega verdaderamente el concepto de rigor, demostración y elaboración concienzuda de teorías., llega la matemática racional.

No se dio un paso tan importante en la historia de las Matemáticas (y de la ciencia en general) hasta 2000 años después en que René Descartes (siglo XVI d C.), con su “pienso luego existo” dio el primer paso en la creación de la ciencia moderna.

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Fuente: www.deia.com

 

Y los pitagóricos están presentes a lo largo de toda nuestra historia y, por supuesto, hasta hoy mismo. Hasta en el mundo de la repostería.

En la imagen una tableta de chocolate plagada de triángulos rectángulos del chocolatero Enric Rovira.

Para que lo entiendas: los babilonios, indios, chinos egipcios conocían algunas ternas pitagóricas y las aplicaban a sus dibujos y construcciones. Pitágoras demostró que el teorema tiene validez para todos los triángulos rectángulos sin excepción.

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En esta actividad, veremos la segunda parte de la historia: el teorema después de Pitágoras. Y para ello mostraremos algunas de las demostraciones que matemáticos de todas las épocas han realizado de él.

Pero ¿qué es una demostración? Una demostración es un conjunto de pasos sucesivos (lógicos, geométricos, etc.) con los que se prueba de forma irrefutable que una determinada afirmación (teorema) es cierta.

En el caso del teorema de Pitágoras hay más de 400 demostraciones distintas realizadas en todas las épocas de nuestra historia. Mostraremos algunas.

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Algunos esquemas de demostraciones. Fuente: http://roble.pntic.mec.es/

Demostraciones basadas en las áreas de los cuadrados

Comencemos por lo más fácil: la idea que está detrás de una parte muy importante de las demostraciones: la idea de las áreas de los cuadrados que se pueden construir sobre los tres lados del triángulo rectángulo:

Como ves en el dibujo, en un triángulo rectángulo ABC puedo dibujar un cuadrado sobre cada uno de sus lados, tomando como lado de ese cuadrado el correspondiente lado del triángulo.

Evidentemente las áreas de los cuadrados son. Pues bien, la demostración consistirá en demostrar que el área del cuadrado grande (el que tiene como lado la hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de los otros dos.

Es decir: 

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Empecemos por algo que podríamos llamar comprobación, más que demostración, porque tú mismo moverás las figuras y verás qué fácil es de entender:

  • Haz clic en el dibujo y verás cómo la misma cantidad de agua sirve para rellenar los dos cuadrados pequeños por un lado y el grande por otro.


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  • Y ahora en este dibujo para cambiar el tamaño del triángulo y ver que aunque cambien los tamaños de los catetos y de la hipotenusa, el teorema se cumple.


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Actividad complementaria.

Vas a ver ya una verdadera demostración (no sólo comprobación. Que además tiene la virtud de que mezcla una parte geométrica y otra algebraica (se usan fórmulas que conoces).

Estúdiala con cuidado y sigue bien los pasos que se te indican

Esta es la demostración que hicieron los Pitagóricos, la primera demostración de la historia que conozcamos (clic sobre el dibujo).

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